Question

2．如圖，在底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP=1，求異面直線AP與BD₁所成角的余弦．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AP與BD₁所成角的余弦值．

解答 解：∵在底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，
P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP=1，
∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），P（0，1，1），B（1，1，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AP}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，2），
設(shè)異面直線AP與BD₁所成角為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{B{D}_{1}}}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{B{D}_{1}}|}$|=|$\frac{1-1+2}{\sqrt{3}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴異面直線AP與BD₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．