Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），a∈R．
（I）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（II）若a=1，試在函數(shù)f（x）的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且兩切點的橫坐標均在區(qū)間[-

1

2

，2]上．

Answer 1

分析：（I）利用函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，則得到f'（x）≥0恒成立．
（Ⅱ）當a=1時，求函數(shù)的導數(shù)，利用這兩點為切點的切線互相垂直，得到兩點的導數(shù)值之積為-1，然后求解切點坐標．

解答：解：（I）要使函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，則f'（x）≥0恒成立．
函數(shù)的導數(shù)為f'（x）=a-

a+1

x+1

=

ax+a-a-1

x+1

=

ax-1

x+1

，由f'（x）≥0得

ax-1

x+1

≥0，因為x≥2，所以ax-1≥0，
ax≥1，即a≥

1

x

即可．因為函數(shù)y=

1

x

在[2，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以y≤

1

2

，所以要使a≥

1

x

恒成立，則有a≥

1

2

．
即滿足條件的實數(shù)a的取值范圍[

1

2

，+∞）．
（Ⅱ）若a=1，則f（x）=x-2ln（x+1），f′(x)=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

．，設(shè)這兩個切點分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
f′（x1）f′（x2）=

x1-1

x1+1

?

x2-1

x2+1

=-1，整理得x₁x₂=-1，即x2=-

1

x1

．
因為兩切點的橫坐標均在區(qū)間[-

1

2

，2]上．所以-

1

2

≤x1≤2，-

1

2

≤x2≤2，即-

1

2

≤-

1

x1

≤2．
①若x₁＞0，則由不等式-

1

2

≤-

1

x1

≤2解得x₁≥2，所以此時x₁=2，x2=-

1

2

．
②若x₁＜0，則由不等式-

1

2

≤-

1

x1

≤2解得x1≤-

1

2

，所以此時x1=-

1

2

，x2=2．
當x=2時，f（2）=2-2ln3，當x=-

1

2

時，f(-

1

2

)=-

1

2

-2ln(1-

1

2

)=-

1

2

-2ln?

1

2

=2ln?2-

1

2

，
即兩切點的坐標分別為（2，2-2ln3），(-

1

2

，2ln2-

1

2

)．

點評：本題的考點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)的幾何意義求切點坐標，運算量較大，比較綜合．