Question

設函數f(x)＝ax²＋bx＋c(a、b、c為實數，且a≠0)，F(x)＝

(1)若f(－1)＝0，曲線y＝f(x)通過點(0,2a＋3)，且在點(－1，f(－1))處的切線垂直于y軸，求F(x)的表達式；

(2)在(1)的條件下，當x∈[－1,1]時，g(x)＝kx－f(x)是單調函數，求實數k的取值范圍；

(3)設mn<0，m＋n>0，a>0，且f(x)為偶函數，證明F(m)＋F(n)>0.

Answer 1

 (1)因為f(x)＝ax²＋bx＋c，所以f ′(x)＝2ax＋b.

又曲線y＝f(x)在點(－1，f(－1))處的切線垂直于y軸，故f ′(－1)＝0，

即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①

因為f(－1)＝0，所以b＝a＋c.②

又因為曲線y＝f(x)通過點(0,2a＋3)，

所以c＝2a＋3.③

解由①，②，③組成的方程組得，a＝－3，b＝－6，c＝－3.

從而f(x)＝－3x²－6x－3.

所以F(x)＝

(2)由(1)知f(x)＝－3x²－6x－3，

所以g(x)＝kx－f(x)＝3x²＋(k＋6)x＋3.

由g(x)在[－1,1]上是單調函數知：

－≤－1或－≥1，得k≤－12或k≥0.

(3)因為f(x)是偶函數，可知b＝0.

因此f(x)＝ax²＋c.

又因為mn<0，m＋n>0，可知m、n異號．

若m>0，則n<0.

則F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am²＋c－an²－c

＝a(m＋n)(m－n)>0.

若m<0，則n>0.

同理可得F(m)＋F(n)>0.

綜上可知F(m)＋F(n)>0.