Question

函數f（x）=k•a^-x（k，a為常數，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數是奇函數，求b的值；
（3）在（2）的條件下判斷函數g（x）的單調性，并用定義證明你的結論．

Answer 1

解：（1）∵函數的圖象過點A（0，1），B（3，8）
∴，解得，
∴f（x）=2^x

（2）由（1）得，，則2^x-1≠0，解得x≠0，
∴函數g（x）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
∵函數g（x）是奇函數
∴，
∴，即，
∴1+b•2^x=2^x+b，即（b-1）•（2^x-1）=0
對于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，∴b=1

（3）由（2）知，，且x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
當x＞0時，g（x）為單調遞減的函數；當x＜0時，g（x）也為單調遞減的函數，
證明如下：
設0＜x₁＜x₂，則
∵0＜x₁＜x₂，∴，
∴g（x₁）＞g（x₂），即g（x）為單調遞減的函數
同理可證，當x＜0時，g（x）也為單調遞減的函數．
分析：（1）根據A（0，1），B（3，8）在函數圖象，把點的坐標代入解析式列出方程組，求出k、a的值；
（2）由（1）求出g（x）的解析式和定義域，再根據奇函數的定義g（x）=-g（-x）列出關于b的等式，由函數的定義域求出b的值；
（3）利用分離常數法化簡函數解析式，先判斷出在定義域上的單調性，再利用取值-作差-變形-判斷符號-下結論，證明函數的單調性．
點評：本題是函數性質的綜合題，考查了用待定系數法求函數解析式，利用奇函數的定義求值，用定義法證明函數的單調性；注意函數的定義域優(yōu)先，并且函數的單調區(qū)間不能并在一起，這是易錯的地方．