(14分)直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點A、B.

(1)求實數(shù)k的取值范圍;

(2)是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.

 

【答案】

(1)-2<k<-.(2) k=-

【解析】(1)直線與雙曲線方程聯(lián)立消y得關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)判別式大于零,可求出k的取值范圍.

(2) 解本題的突破口是假設(shè)存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F(c,0),則由FA⊥FB得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0,

整理得:(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0再根據(jù)韋達定理解決即可.

(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線方程2x2-y2=1后,整理得:

(k2-2)x2+2kx+2=0①

解:依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點,故

,解得-2<k<-

(2)設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則由①式得②,

假設(shè)存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F(c,0),則由FA⊥FB得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0,

整理得:(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0③

把②式及c=代入③式化簡得5k2+2k-6=0,解得

k=-或k=∉(-2,-)(舍去).

可得k=-使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面上的動點P(x,y)及兩定點A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別是k1,k2,且k1•k2=-
1
4

(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+m與曲線C交于M,N兩點,且直線BM、BN的斜率都存在,并滿足kBM•kBN=-
1
4
,求證:直線l過原點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面上的動點P(x,y)及兩定點A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別是 k1,k2k1k2=-
1
4

(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+m與曲線C交于不同的兩點M,N.
①若OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點),證明點O到直線l的距離為定值,并求出這個定值
②若直線BM,BN的斜率都存在并滿足kBMkBN=-
1
4
,證明直線l過定點,并求出這個定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某大型企業(yè)2010年和2011年進行科技創(chuàng)新,企業(yè)有效轉(zhuǎn)型,產(chǎn)品大規(guī)模升級,該企業(yè)2012年季度利潤和季度能源成本分別為x、y,其值見表,x單位為千萬元,y單位為十萬元.下面四個結(jié)論:
季度 1 2 3 4
x 30 31 33 34
y 18 16 14 12
①點(x,y)構(gòu)成的圖形是散點圖,這些點不在一條直線上;
②季度利潤與季度能源成本正相關(guān);
③若直線l:
?
y
=
?
b
x+
?
a
是季度能源成本與季度利潤的回歸直線,則直線l經(jīng)過點(32,15);
④由表可知2013年春季的利潤為3.55億元,能源成本為100萬元.
其中正確的是
 
(只填結(jié)論番號,多填少填錯填均得零分).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年周至二中四模理)( 14分)

直線l:axy-1=0與曲線Cx2-2y2=1交于P、Q兩點,

(1)當(dāng)實數(shù)a為何值時,|PQ|=2.

(2)是否存在a的值,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.

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