Question

一個(gè)直角走廊寬為1.5m，如圖所示，有一轉(zhuǎn)動靈活的平板手推車，寬為1m，問要順利推過直角走廊，平板車的長度不能超過多少米？

Answer 1

分析：由已知中直角走廊寬為1.5m，轉(zhuǎn)動靈活的平板手推車，寬為1m，我們設(shè)AB所在直線與走廊外輪廓線交于點(diǎn)A′，B′，∠CDO'=θ，則我們可以構(gòu)造出車長（CD）與θ的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)法，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，及最值，即可得到答案．

解答：解：設(shè)AB所在直線與走廊外輪廓線交于點(diǎn)A′，B′，∠CDO'=θ，則∠B'A'O'=θ．
∵CD=AB=A'B'-AA'-BB'，A′B′=A′O+OB′
而A′B′=

1.5

sinθ

+

1.5

cosθ

，AA'=cotθ，BB'=tanθ，
∴CD=1.5(

1

sinθ

+

1

cosθ

)-cotθ-tanθ=

3(sinθ+cosθ)-2

2sinθcosθ

．
令sinθ+cosθ=t，則CD=

3t-2

t2-1

．
又∵θ∈(θ，

π

2

]，∴t=

2

sin(θ+

π

4

)∈(1，

2

]．
令f(t)=

3t-2

t2-1

，∵f′(t)=-

3t2-4t+3

(t2-1)2

＜0，
∴f（t）在(1，

2

]上是減函數(shù)．
∴當(dāng)t=

2

，即θ=

π

4

時(shí)，f（t）有最小值3

2

-2，
從而CD的最小值是3

2

-2．
故平板車的長度不能超過（3

2

-2）米．

點(diǎn)評：本題的考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)模型的選擇，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造出車長（CD）與θ的函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值問題，是解答本題的關(guān)鍵．