Question

若f(x)=-

1

2

(x-2)2+

1

m

lnx在（1，+∞）上是減函數(shù)，則m的取值范圍是（　�。�

A．（-1，0）

B．（0，+∞）

C．[-1，0）

D．（0，1]

Answer 1

分析：先求導(dǎo)函數(shù)，要使函數(shù)f(x)=-

1

2

(x-2)2+

1

m

lnx （1，+∞）上是減函數(shù)，則需2-x+

1

mx

≤0在（1，+∞）上恒成立，通過分類變量可得

1

m

≤x(x-2)，只需求出g（x）=x²-2x，x∈（1，+∞）的取值范圍即可建立不等式，解之即可求得m的取值范圍．

解答：解：求得導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=2-x+

1

mx

要使函數(shù)f(x)=-

1

2

(x-2)2+

1

m

lnx在（1，+∞）上是減函數(shù)，則需2-x+

1

mx

≤0在（1，+∞）上恒成立，
變形可得

1

m

≤x(x-2)=x²-2x
構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-2x，x∈（1，+∞），可求得g（x）＞g（1）=-1，故只需

1

m

≤-1，
即

m+1

m

≤0，解得-1≤m＜0，即m∈[-1，0）．
故選C．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為2-x+

1

mx

≤0在（1，+∞）上恒成立，屬中檔題．