Question

【題目】已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)F1、F2分別在x軸上，離心率為 ，在其上有一動(dòng)點(diǎn)A，A到點(diǎn)F1距離的最小值是1，過(guò)A、F1作一個(gè)平行四邊形，頂點(diǎn)A、B、C、D都在橢圓E上，如圖所示．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）判斷ABCD能否為菱形，并說(shuō)明理由．
（Ⅲ）當(dāng)ABCD的面積取到最大值時(shí)，判斷ABCD的形狀，并求出其最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意可得： ，解得c=1，a=2，b2=3．∴橢圓E的方程為 ．
（II）假設(shè)ABCD能為菱形，則OA⊥OB，kOAkOB=﹣1．
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，把x=﹣1代入橢圓方程可得： =1，解得y= ，
取A ，則|AD|=2，|AB|=3，此時(shí)ABCD不能為菱形．
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
聯(lián)立 ，化為：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
∴kOAkOB= = = = = ，
假設(shè) =﹣1，化為k2=﹣ ，因此平行四邊形ABCD不可能是菱形．
綜上可得：平行四邊形ABCD不可能是菱形．
（III）①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此時(shí)ABCD為矩形，S矩形ABCD=6．
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
聯(lián)立 ，化為：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
|AB|= = ．
點(diǎn)O到直線AB的距離d= ．
∴S平行四邊形ABCD=4×S△OAB=
=2× × = ．
則S2= = ＜36，
∴S＜6．
因此當(dāng)平行四邊形ABCD為矩形面積取得最大值6
【解析】（I）由題意可得： ，解得c，a，b2 ， 即可得出．（II）假設(shè)ABCD能為菱形，則OA⊥OB，kOAkOB=﹣1．分類討論：①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，把x=﹣1代入橢圓方程，解出即可判斷出；②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．把直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其斜率計(jì)算公式kOAkOB=﹣1，看此方程是否有解即可判斷出．（III）①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此時(shí)ABCD為矩形，S矩形ABCD=6．②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．直線BA的方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|= ，點(diǎn)O到直線AB的距離d= ．S平行四邊形ABCD=4×S△OAB= ，即可得出．