Question

如圖所示，點M在正六邊形ABCDEF的邊BC、CD、DE、EF上變動，若

AM

=x

AB

+y

AF

，其中x，y∈R，則x+y的最大值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：不等式的解法及應用,平面向量及應用

分析：通過建立坐標系，寫出各點的坐標及直線方程，設出動點M的坐標；
寫出向量

AM

的坐標，據(jù)已知條件中的向量等式得到α，β與x，y的關系，代入點M的可行域得α，β的取值范圍，利用線性規(guī)劃求出α+β的取值范圍．

解答： 解：建立如圖坐標系，不妨設AB=1，則A（0，0），B（1，0），C（

3

2

，

3

2

），D（1，

3

），E（0，

3

），F(xiàn)（-

1

2

，

3

2

）；
則CD的方程為

3

x+y-2

3

=0（1≤x≤

3

2

，

3

2

≤y≤

3

），
BC的方程為

3

x-y-

3

=0（1≤x≤

3

2

，0≤y≤

3

2

），
EF 的方程為

3

x-y+

3

=0（-

1

2

≤x≤0，

3

2

≤y≤

3

），
DE的方程為y=

3

（0≤x≤1）；
設

AM

=（α，β），∵M在正六邊形ABCDEF的邊BC、CD、DE、EF上變動，∴

0≤α≤ 3 2 0≤β≤ 3

；
∵

AB

=（1，0），

AF

=（-

1

2

，

3

2

），
∴（α，β）=x（1，0）+y（-

1

2

，

3

2

）=（x-

1

2

y，

3

2

y）；
得

α=x- 1 2 y β= 3 2 y

，可得

0≤x- 1 2 y≤ 3 2 0≤ 3 2 y≤ 3

，化簡得

0≤2x-y≤3 0≤y≤2

，
由線性規(guī)劃的知識求得1≤x+y≤4；
∴x+y的最大值是4．
故答案為：4．

點評：本題考查通過建立直角坐標系將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，通過線性規(guī)劃求最大值的問題，是難題．