Question

【題目】已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，均有成立，則稱(chēng)函數(shù)為“可平衡”函數(shù)，有序數(shù)對(duì)稱(chēng)為函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì).

（1）若，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說(shuō)明理由；

（2）若，，當(dāng)變化時(shí)，求證：與的“平衡”數(shù)對(duì)相同；

（3）若，且、均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì).當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是“可平衡”函數(shù),詳見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

(1)利用兩角和差的正弦公式求解即可.

(2)根據(jù)題意可知,對(duì)于任意實(shí)數(shù),,再列式利用恒成立問(wèn)題求解即可.

(3)根據(jù)“平衡數(shù)對(duì)”的定義將用關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá),再利用三角函數(shù)的取值范圍求解即可.

（1）若,則,

,

要使得為“可平衡”函數(shù),需使故對(duì)于任意實(shí)數(shù)均成立,只有,

此時(shí),,故存在,所以是“可平衡”函數(shù).

（2）及的定義域均為,

根據(jù)題意可知,對(duì)于任意實(shí)數(shù),,

即,即對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立,

只有,,故函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)為,

對(duì)于函數(shù)而言,,

所以,

,,

即,故,只有,所以函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)為,

綜上可得函數(shù)與的“平衡”數(shù)對(duì)相同.

（3）,所以,

,所以,

由于,所以,故,,

,

由于,所以時(shí),,

,所以.