Question

1．已知（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和比（3x-1）ⁿ的展開式的二項(xiàng)系數(shù)之和大992．求（2x+$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開式中：
（1）常數(shù)項(xiàng)；
（2）系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由條件求得n=5，利用由通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng)；
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，由通項(xiàng)公式可得$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}•{2}^{10-r}≥{C}_{10}^{r+1}•{2}^{9-r}}\\{{C}_{10}^{r}•{2}^{11-r}≥{C}_{10}^{r-1}•{2}^{11-r}}\end{array}\right.$，求得 r=3，可得第4項(xiàng)的系數(shù)最大，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得該項(xiàng)．

解答 解：（1）由題意可得 2²ⁿ=2ⁿ+992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，∴2ⁿ=32，n=5．
T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^10-r•x^10-2r，令10-2r=0，可得r=5
∴T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^10-r=252．
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，∵T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^10-r•x^10-2r，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}•{2}^{10-r}≥{C}_{10}^{r+1}•{2}^{9-r}}\\{{C}_{10}^{r}•{2}^{11-r}≥{C}_{10}^{r-1}•{2}^{11-r}}\end{array}\right.$，
求得$\frac{8}{3}$≤r≤$\frac{11}{3}$，∴r=3，
故第4項(xiàng)的系數(shù)最大，該項(xiàng)為T₄=${C}_{10}^{3}$•2⁷•x⁴=15360x⁴．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．