Question

定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，如果存在非零常數(shù)λ（λ∈R），使得對(duì)任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱y=f（x）為“倍增函數(shù)”，λ為“倍增系數(shù)”，下列命題為真命題的是

 

（寫出所有真命題對(duì)應(yīng)的序號(hào)）．
①若函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù)，則y=f（x）至少有1個(gè)零點(diǎn)；
②函數(shù)f（x）=2x+1是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ=1；
③函數(shù)f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ∈（0，1）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù)，知f（x-2）=-2f（x），由此得到y(tǒng)=f（x）至少有1個(gè)零點(diǎn)，知①正確；由f（x）=2x+1是倍增函數(shù)，知2（x+λ）+1=λ（2x+1），故由λ=

2x

2x-1

≠1，知②不正確；
由f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，得到λ=

1

eλ

∈（0，1）知③正確．

解答： 解：①∵函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù)，
∴f（x-2）=-2f（x），當(dāng)x=0時(shí)，f（-2）+2f（0）=0，
若f（0），f（-2）任一個(gè)為0，函數(shù)f（x）有零點(diǎn)；
若f（0），f（-1）均不為零，則f（0），f（-2）異號(hào)，
由零點(diǎn)存在定理，在（-2，0）區(qū)間存在x₀，f（x₀）=0，
即y=f（x）至少有1個(gè)零點(diǎn)，故①正確；
②∵f（x）=2x+1是倍增函數(shù)，
∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），
∴λ=

2x

2x-1

≠1，故②不正確；
③∵f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，
∴e^-（x+λ）=λe^-x，
∴

1

ex•eλ

=

λ

ex

，
∴λ=

1

eλ

∈（0，1），故③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意新定義的合理運(yùn)用，合理地地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．