Question

9．如圖，F(xiàn)是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一個焦點，A，B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線l₁：$x+\sqrt{3}y+3=0$相切．則橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 由已知設(shè)F（-c，0），B（0，$\sqrt{3}c$），由圓與直線相切的性質(zhì)和點到直線的距離公式能求出c=1，由此能求出橢圓方程．

解答 解：由已知設(shè)F（-c，0），B（0，$\sqrt{3}c$），
∵k_BF=$\sqrt{3}$，k_BC=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，C（3c，0），
且圓M的方程為（x-c）²+y²=4c²，圓M與直線l₁：x+$\sqrt{3}$u+3=0相切，
∴$\frac{{|{1×c+\sqrt{3}×0+3}|}}{{\sqrt{1+3}}}=2c$，解得c=1，
∴所求的橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓與直線相切的性質(zhì)和點到直線的距離公式的合理運用．