Question

1．矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2，0），AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，點T（-1，1）在AD邊所在直線上．
（1）求AD邊所在直線的方程；
（2）若直線l：ax+y+b+1=0平分矩形ABCD的面積，求出原點與（a，b）距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得AD的斜率，可得點斜式方程，化為一般式即可；
（2）可得直線l過點M（2，0），可得2a+b+1=0，代入距離公式由二次函數(shù)的最值可得．

解答 解：（1）∵AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，
∴直線AD的斜率為-3，
又∵點T（-1，1）在直線AD上，
∴AD邊所在的直線的方程為y-1=-3（x+1），
化為一般式可得3x+y+2=0；
（2）∵直線l：ax+y+b+1=0平分矩形ABCD的面積，
∴直線l過點M（2，0），∴2a+b+1=0，
∴原點與（a，b）的距離為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}+（-2a-1）^{2}}$=$\sqrt{5{a}^{2}+4a+1}$，
由二次函數(shù)的知識可得當a=-$\frac{2}{5}$時，
原點與（a，b）距離取最小值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查直線的方程的求解方法，涉及直線的垂直關(guān)系和距離公式以及二次函數(shù)的最值，屬中檔題．