Question

已知實數(shù)x，y滿足（x-2）²+（y-1）²=1．
（1）求k=

y+1

x

的最大值；
（2）若x+y+m≥0恒成立，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用圓心到直線的距離d=

|2k-2|

k2+1

=1，求出k，即可得出k=

y+1

x

的最大值；
（2）x+y+m≥0，即要-m小于等于x+y恒成立，即-m小于等于x+y的最小值，由x與y滿足的關(guān)系式為圓心為（2，1），半徑為1的圓，可設(shè)x=2+cosα，y=1+sinα，代入x+y，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得出x+y的最小值，即可得到實數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：（1）k=

y+1

x

即kx-y-1=0，
由圓心到直線的距離d=

|2k-2|

k2+1

=1，可得k=

4± 7

3

，
∴k=

y+1

x

的最大值為

4+ 7

3

；
（2）∵實數(shù)x，y滿足（x-2）²+（y-1）²=1，
∴設(shè)x=2+cosα，y=1+sinα，
則x+y=2+cosα+1+sinα=

2

sin（α+

π

4

）+3，
∵-1≤sin（α+

π

4

）≤1，
∴

2

sin（α+

π

4

）+3的最小值為3-

2

，
根據(jù)題意得：-m≤3-

2

，即m≥

2

-3．

點評：本題考查斜率的意義，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．