Question

設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C，過F作它的弦AB，若∠CBF=90°，則|AF|-|BF|的長為（　�。�

• A、2p
• B、p
• C、

  p

  2

• D、4p

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：假設(shè)k存在，設(shè)AB方程為：y=k（x-

p

2

），與拋物線y²=2px（p＞0）聯(lián)立得k²x²-（k²+2）px+

k2p2

4

=0，
設(shè)兩交點(diǎn)為A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），可得根與系數(shù)的關(guān)系．應(yīng)用∠CBF=90°，可得（x₁-

p

2

）（x₁+

p

2

）
+y₁²=0，再利用焦點(diǎn)弦長公式即可得出．

解答： 解：假設(shè)k存在，設(shè)AB方程為：y=k（x-

p

2

），
與拋物線y²=2px（p＞0）聯(lián)立得k²x²-（k²+2）px+

k2p2

4

=0，
設(shè)兩交點(diǎn)為A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
∵∠CBF=90°，∴（x₁-

p

2

）（x₁+

p

2

）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=

p2

4

，∴x₁²+2px₁-

p2

4

=0（x₁＞0），∴x₁=

5 -2

2

p，
∵x₁x₂=

p2

4

，∴x₂=

2+ 5

2

p，
∴|AF|-|BF|=（x₂+

p

2

）-（x₁+

p

2

）=2p，
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直與斜率的關(guān)系、焦點(diǎn)弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．