Question

已知集合A={x|x²+a≤|a+1|x，a∈R}
（1）求A；
（2）若以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列前n項(xiàng)和記為S_n，問是否存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)于任意的n∈N^*，均有S_n∈A．若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）為去掉絕對(duì)值，對(duì)a要進(jìn)行分類討論，分a+1≥0，a+1＜0兩類．對(duì)應(yīng)的求A
 （2）根據(jù)已知條件，求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式S_n，結(jié)合（1）的結(jié)論，可構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于a 的不等式，解不等式，可得滿足條件的a的取值范圍．
解答：解：（1）由x²+a≤|a+1|x，a∈R，
得或
∴a＞1時(shí)，1≤x≤a；-1≤a≤1時(shí)，a≤x≤1；a＜-1時(shí)，-1≤x≤-a
∴a＞1時(shí)，A={x|1≤x≤a}；-1≤a≤1時(shí)，A={x|a≤x≤1}；a＜-1時(shí)，A={x|-1≤x≤-a}
（2）①當(dāng)a≥1時(shí)，A={x|1≤x≤a}，而當(dāng)n=2時(shí)，S₂=a+a²，若S₂∈A，則1≤a+a²≤a，得，此不等式組的解集為空集，故a≥1時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，A={x|a≤x≤1}；而是關(guān)于n的增函數(shù)，且，故，故對(duì)任意的n∈N^*，要使S_n∈A，只需a滿足，解得；
③當(dāng)a＜-1時(shí)，A={x|-1≤x≤-a}，顯然S₁=a∉A，故不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a；
④當(dāng)a=-1時(shí)，A={x|-1≤x≤1}，S_2n-1=-1，S_2n=1，適合；
⑤當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，A={x|a≤x≤1}，S_2n+1=S_2n-1+a_2n+a_2n+1=S_2n-1+a²ⁿ+a²ⁿ⁺¹=S_2n-1+a²ⁿ（1+a）
∵a²ⁿ＞0，1+a＞0，∴a²ⁿ（1+a）＞0，∴S_2n+1＞S_2n-1S_2n+2=S_2n+a_2n+1+a_2n+2=S_2n+a²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺²=S_2n+a²ⁿ⁺¹（1+a）
∵a²ⁿ⁺¹=a²ⁿ•a＜0，1+a＞0，∴a²ⁿ⁺¹（1+a）＜0，∴S_2n+2＜S_2n
又∵=a²ⁿ⁺¹＜0
∴S_2n+1＜S_2n
而S₂=S₁+a²＞S₁，
故S₁＜S₃＜S₅＜S₇＜…＜S_2n+1＜…＜S_2n＜S_2n-2＜…＜S₄＜S₂
故對(duì)任意的n∈N^*，要使S_n∈A，只需，即，解得-1＜a＜0
綜上所述，a的取值范圍是或-1≤a＜0}
點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，考查的知識(shí)點(diǎn)多而且均為難點(diǎn)，對(duì)于此類型的問題處理方法為：1．審題--弄清題意，分析涉及哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容，在每個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，各是什么問題.2．分解--把整個(gè)大題分解成幾個(gè)小題或幾個(gè)“步驟”，每個(gè)小題或每個(gè)小“步驟”分別是數(shù)列問題、函數(shù)問題、解析幾何問題、不等式問題等.3．求解--分別求解這些小題或這些小“步驟”，從而得到整個(gè)問題的解答