Question

【題目】為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象（能力指標(biāo)x）、推理（能力指標(biāo)y）、建模（能力指標(biāo)z）的相關(guān)性，并將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級(jí)，再用綜合指標(biāo)w=x+y+z的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；若w≥7，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí)；若5≤w≤6，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí)；若3≤w≤4，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí)，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果：

學(xué)生編號(hào)	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（2，2，3）	（3，2，3）	（3，3，3）	（1，2，2）	（2，3，2）	（2，3，3）	（2，2，2）	（2，3，3）	（2，1，1）	（2，2，2）

（1）在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率；
（2）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為a，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)不是一級(jí)的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為b，記隨機(jī)變量X=a﹣b，求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題可知：建模能力一級(jí)的學(xué)生是A9；建模能力二級(jí)的學(xué)生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三級(jí)的學(xué)生是A1，A3，A6，A8．

記“所取的兩人的建模能力指標(biāo)相同”為事件A，

則 ．

（2）解：由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級(jí)：A1，A2，A3，A5，A6，A8，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級(jí)的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值為1，2，3，4，5. ； ； ； ； ．

∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P

∴ = ．

【解析】（1）由題可知：建模能力一級(jí)的學(xué)生是A9；建模能力二級(jí)的學(xué)生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三級(jí)的學(xué)生是A1，A3，A6，A8．記“所取的兩人的建模能力指標(biāo)相同”為事件A，利用互斥事件與古典概率計(jì)算公式即可得出，P（A）．（2）由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級(jí)：A1，A2，A3，A5，A6，A8，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級(jí)的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值為1，2，3，4，5．利用相互獨(dú)立事件、互斥事件與古典概率計(jì)算公式即可得出P（X=k）及其分布列與數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】利用離散型隨機(jī)變量及其分布列對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．