Question

8．已知f（x+2）=${3}^{{x}^{2}+4x+4}$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性
（3）解不等式f（x-2）＞f（x+3）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，f（x+2）=${3}^{{x}^{2}+4x+4}$=${3}^{（x+2）^{2}}$，利用換元法令t=x+2，則x=t-2，代入f（x）中即可得答案；
（2）根據(jù)題意，先求出f（x）=${3}^{{x}^{2}}$的定義域?yàn)镽，進(jìn)而求出又由于f（-x）=${3}^{{x}^{2}}$，分析f（-x）與f（x）的關(guān)系即可得答案；
（3）由函數(shù)的解析式可將f（x-2）＞f（x+3）轉(zhuǎn)化為${3}^{（x-2）^{2}}$＞${3}^{（x+3）^{2}}$，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得（x+2）²＞（x+3）²，解可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，f（x+2）=${3}^{{x}^{2}+4x+4}$=${3}^{（x+2）^{2}}$，
令t=x+2，則x=t-2，
則f（t）=${3}^{{t}^{2}}$，
故f（x）=${3}^{{x}^{2}}$；
（2）由（1）可得，f（x）=${3}^{{x}^{2}}$，易得其定義域?yàn)镽，
又由于f（-x）=${3}^{{x}^{2}}$=f（x），
故f（x）為偶函數(shù)；
（3）若f（x-2）＞f（x+3），
即${3}^{（x-2）^{2}}$＞${3}^{（x+3）^{2}}$，
即（x+2）²＞（x+3）²，
解可得：x＜-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指函數(shù)奇偶性的運(yùn)用涉及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確求出f（x）的解析式．