Question

已知函數f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

（1）若對于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求實數k的取值范圍；
（2）若f（x）的最小值為-3，求實數k的取值范圍；
（3）若對于任意的x₁、x₂、x₃，均存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）換元，將f（x）解析式的分子分母轉化為二次式，因為分母恒大于0，所以只需分子大于0，分離參數，利用均值不等式與不等式的性質得出右邊式子的最大值，可得實數k的取值范圍；
（2）將f（x）解析式用分離常數法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由k-1的符號決定，故分為三類討論，得出整個式子的取值范圍，若有最小值，令其等于-3，求出實數k的取值范圍；
（3）三條線段構成三角形的條件為兩邊之和大于第三邊，得出f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）的不等式，由（2）知，f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）在三種不同情況下的范圍，與（2）同樣，分三種情況進行討論，轉化為f（x₁）+f（x₂）的最小值與f（x₃）的最大值的不等式，進而求出實數k 的取值范圍．

解答：解：（1）設t=2^x，則y=

t2+kt+1

t2+t+1

（t＞0），
∵y＞0恒成立，∴t＞0時，t²+kt+1＞0恒成立，
即t＞0時，k＞-（t+

1

t

）恒成立，
∵t＞0時，t+

1

t

≥2，∴-（t+

1

t

）≤-2，
當t=

1

t

，即t=1時，-（t+

1

t

）有最大值為-2，
∴k＞-2；
（2）f（x）=

4x+2x+1+(k-1)2x

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，
令t=2^x+

1

2x

+1≥3，則y=1+

k-1

t

（t≥3），
當k-1＞0，即k＞1時，y∈（1，

k+2

3

]，無最小值，舍去；
當k-1=0，即k=1時，y∈{1}，最小值不是-3，舍去；
當k-1＜0，即k＜1時，y∈[

k+2

3

，1），
最小值為

k+2

3

=-3得k=-11；
綜上k=-11．
（3）因對任意實數x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，故f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
當k＞1時，∵2＜f（x₁）+f（x₂）≤

2k+4

3

且1＜f（x₃）≤

k+2

3

，故

k+2

3

≤2，∴1＜k≤4；
當k=1時，∵f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
當k＜1時，∵

2k+4

3

≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且

k+2

3

≤f（x₃）＜1，故

2k+4

3

≥1，∴-

1

2

≤k＜1；
綜上所述：-

1

2

≤k≤4．

點評：本題主要考查求參數的范圍，注意把所給式子化繁為簡，一般常用換元法，把不等式轉化為求最值間的不等式，在求最值的過程中，若與參數有關，要進行分類討論．
在使用均值不等式應注意一定，二正，三相等．