Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為：y=±

3

x，右頂點(diǎn)為（1，0）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知直線y=x+m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀）．當(dāng)x₀≠0時(shí)，求

y0

x0

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由雙曲線的漸近線方程為：y=±

b

a

x，得到

b

a

=

3

，又a=1，即可得到雙曲線的方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y，得到x的方程，再由判別式大于0，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由直線方程得到縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為：y=±

b

a

x，
則由題意得，

b

a

=

3

，a=1，解得b=

3

，
則雙曲線的方程為：x²-

y2

3

=1；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，得到，

y=x+m x2- y2 3 =1

，消去y，得2x²-2mx-m²-3=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則判別式△=4m²+8（m²+3）＞0，x₁+x₂=m，
中點(diǎn)M的x₀=

m

2

，y₀=x₀+m=

3

2

m，
則有

y0

x0

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)及運(yùn)用，考查聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．