Question

如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC₁∥平面CDB₁
（2）求B₁D與平面BCC₁B₁所成的角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接B₁C交BC₁于點(diǎn)E，則DE為△ABC₁的中位線，得到DE∥AC₁，從而得到AC₁∥面B₁CD．
（2）取BC中點(diǎn)H，連接DH，則∠DBH為B₁D與平面BCC₁B₁所成的角，即可求出B₁D與平面BCC₁B₁所成的角的正切值．

解答： （1）證明：設(shè)B₁C與BC₁交于點(diǎn)E，則E為BC₁的中點(diǎn)，連結(jié)DE，則在△ABC₁中，DE∥AC₁，
又DE?面CDB₁，AC₁?面CDB₁，∴AC₁∥平面B₁CD．
（2）解：取BC中點(diǎn)H，連接DH，則DH平行且等于

1

2

AC₁，
∵AC⊥平面BCC₁B₁，
∴DH⊥平面BCC₁B₁，
∴∠DBH為B₁D與平面BCC₁B₁所成的角，
∵DH=

3

2

，B₁H=

BH2+BB12

=2

5

，
∴tan∠DB1H=

DH

B1H

=

3 2

2 5

=

3 5

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行的方法，求B₁D與平面BCC₁B₁所成的角的正切值，屬于中檔題．