Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)O是A₁C₁的中點(diǎn)，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2．
（1）求證：AB₁⊥A_lC；
（2）求點(diǎn)C到平面AA₁B₁的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出四邊形A₁C₁CA為菱形，從而得到A₁C⊥平面AB₁C₁，由此能夠證明AB₁⊥A₁C．
（2）由已知條件得到點(diǎn)C到平面AA₁B₂的距離與點(diǎn)C₁到平面AA₁B₁的距離相等，由此利用等積法能求出C₁到平面AA₁B₁的距離．

解答： （1）證明：∵AO⊥平面A₁B₁C₁，
∴AO⊥B1C1 ，
又∵A₁C₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩AO=0，
∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，∴A₁C⊥B₁C₁，
又∵AA₁=AC，
∴四邊形A₁C₁CA為菱形，
∴A₁C⊥AC₁，且B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C．
（2）∵CC₁∥平面AA₁B₁，
∴點(diǎn)C到平面AA₁B₂的距離與點(diǎn)C₁到平面AA₁B₁的距離相等，
設(shè)C₁到平面AA₁B₁的距離為d，
∵VA-A1B1C1=VC1-AA1B1，
∴

1

3

•

1

2

•A1C1•B1C1•AO=

1

3

•S△AA1B1•d，
又∵在△AA₁B₁中，A1B1=AB1=2

2

，AA1=2，S△AA1B1=

7

，
∴d=

2 21

7

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．