Question

【題目】已知，函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)在上的最值；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)a≥ .

【解析】

(1) 當a＝2時，求得函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值；

(2)根據(jù)函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在(－1,1)上恒成立，再利用分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可求解．

(1) 當a＝2時，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.

令f′(x)=0，則x=－或x=

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	0	(0， )		(，2)	2
f′(x)		+	0	-
f(x)	f(0)=0	↗	極大值f()	↘	f(2)=0

所以，f(x)max= f()=(-2+2),f(x)min= f(0)=0.

(2)因為函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．

又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，

因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，

也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．

設y＝x＋1－，則y′＝1＋>0，

即y＝x＋1－在(－1,1)上單調(diào)遞增，

則y<1＋1－＝，故a≥.