Question

甲、乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼,他們能譯出密碼的概率分別為和,求:

(1)兩個(gè)人都譯出密碼的概率;

(2)兩個(gè)人都譯不出密碼的概率;

(3)恰有一個(gè)人譯出密碼的概率;

(4)至多一個(gè)人譯出密碼的概率;

(5)至少一個(gè)人譯出密碼的概率.

Answer 1

解析:我們把“甲獨(dú)立地譯出密碼”記為事件A,把“乙獨(dú)立地譯出密碼”記為事件B,顯然A、B為相互獨(dú)立事件,問(wèn)題(1)兩個(gè)都譯出密碼相當(dāng)于事件A、B同時(shí)發(fā)生,即事件AB.問(wèn)題(2)兩人都譯不出密碼相當(dāng)于事件.問(wèn)題(3)恰有一個(gè)人譯出密碼可以分成兩類:A發(fā)生B不發(fā)生,A不發(fā)生B發(fā)生,即恰有一個(gè)人譯出密碼相當(dāng)于事件A+B.問(wèn)題(4)至多一個(gè)人譯出密碼的對(duì)立事件是兩個(gè)人都未譯出密碼,即事件.由于A、B是獨(dú)立事件,上述問(wèn)題中,與B,A與,與是相互獨(dú)立事件,可以用公式計(jì)算相關(guān)概率.

解:記“甲獨(dú)立地譯出密碼”為事件A,“乙獨(dú)立地譯出密碼”為事件B,A、B為相互獨(dú)立事件,且P(A)=,P(B)=.

(1)兩個(gè)人都譯出密碼的概率為P(AB)=P(A)×P(B)=×=.

(2)兩個(gè)人都譯不出密碼的概率為P()=P()×P()=［1-P(A)］×［1-P(B)］=(1-)(1-)=.

(3)恰有一個(gè)人譯出密碼可以分為兩類:甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出,且兩個(gè)事件為互斥事件,所以恰有一個(gè)人譯出密碼的概率為P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()

P(B)=(1-)+(1-)=.

(4)“至多1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事件為“有兩個(gè)人譯出密碼”,所以至多1個(gè)人譯出密碼的概率為1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-×=.

(5)“至少有1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事件為“兩人未譯出密碼”,所以至少有1個(gè)人譯出密碼的概率為1-P()=1-P()P()=1-=.

小結(jié)：如果需要提高能譯出密碼的可能性,就需要增加可能譯出密碼的人,現(xiàn)在可以提出這樣的問(wèn)題:若要達(dá)到譯出密碼的概率為99%,至少需要像乙這樣的人多少個(gè)?我們可以假設(shè)有n個(gè)像乙這樣的人分別獨(dú)立地破譯密碼,此問(wèn)題相當(dāng)于n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),要譯出密碼相當(dāng)于至少有1個(gè)譯出密碼,其對(duì)立事件為所有人都未譯出密碼,能譯出密碼的概率為1-［P()］ⁿ=1-(1-)ⁿ=1-()ⁿ,按要求,1-()ⁿ≥0.99,故()ⁿ≤0.01,可以計(jì)算出n≥16,即至少有像乙這樣的人16名,才能使譯出密碼的概率達(dá)到99%.