Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c（a，b，c∈R），且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值，則z=（a+3）²+b²的取值范圍（　�。�

• A、（

  2

  2

  ，2）
• B、（

  1

  2

  ，4）
• C、（1，2）
• D、（1，4）

Answer 1

分析：據(jù)極大值點左邊導數(shù)為正右邊導數(shù)為負，極小值點左邊導數(shù)為負右邊導數(shù)為正得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出最值．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

a x2+2bx+c
∴f′（x）=x²+ax+2b
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個根
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0
即

b＞0 a+2b+1＜ a+b+2＞0

0

（a+3）²+b²表示點（a，b）到點（-3，0）的距離的平方，
由圖知（-3，0）到直線a+b+2=0的距離

2

2

，平方為

1

2

為最小值，
由

a+2b+1=0 a+b+2=0

得（-3，1）
（-3，0）與（-3，1）的距離為1，
（-3，0）與（-1，0）的距離2，
所以z=（a+3）²+b²的取值范圍為（

1

2

，4）
故選項為B

點評：本題考查函數(shù)極值存在條件及線性規(guī)劃求最值．