Question

設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)為F₂，過(guò)點(diǎn)F₂的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的斜率為

35

，且

AF2

=2

F2B

；
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）如果F₁為雙曲線C的左焦點(diǎn)，且F₁到l的距離為 

2 35

3

，求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線的第二定義可求得雙曲線C的離心率；
（2）利用點(diǎn)到直線間的距離公式可求得由F₁到l的距離為

35 c

3

，于是有

35 c

3

=

2 35

3

，可求得c，繼而可得a²，b²的值，從而可求得雙曲線C的方程．

解答：解：作雙曲線的右準(zhǔn)線L：x=

a2

c

，
分別作AA₁⊥L，BB₁⊥L，垂足分別為A₁、B₁，作BH⊥AA₁，交AA₁于H，
根據(jù)雙曲線第二定義，

|AF2|

|AA1|

=

|BF2|

|BB1|

=e，（e是離心率），
∵

AF2

=2

F2B

，
∴|AA₁|=2|BB₁|=2|A₁H|，
∴H為線段AA₁的中點(diǎn)，故|A₁H|=|AH|，
設(shè)|BB₁|=m，則|AH|=m，|AA₁|=2m①
∵直線AB的斜率為

35

，設(shè)AB與x軸成角為θ，則tanθ=

35

，即

|BH|

|AH|

=

35

，
∴|BH|=

35

|AH|=

35

m，
∴在直角三角形BHA中，|AB|=6m；
∴|AF₂|=4m，②
由①②得：e=

|AF2|

|AA1|

=

4m

2m

=2；
（2）∵直線方程l為：y=

35

（x-c），即

35

x-y-

35

c=0，
左焦點(diǎn)F₁至AB距離d=

|- 35 c-0- 35 c|

( 35 )2+1

=

2 35 c

6

=

35 c

3

，
又F₁到l的距離為 

2 35

3

，
∴

35 c

3

=

2 35

3

，
∴c=2，又e=

c

a

=2，
∴a=1，b=

3

，
∴雙曲線方程為：x²-

y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的第二定義，考查點(diǎn)到直線間的距離公式，考查雙曲線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于難題．