Question

（2012•閔行區(qū)一模）設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的虛軸長(zhǎng)為2

3

，漸近線方程是y=±

3

x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且

OA

⊥

OB

．
（1）求雙曲C的方程；
（2）求點(diǎn)P（k，m）的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線虛軸長(zhǎng)為2

3

，漸近線方程是y=±

3

x，可得幾何量的值，即可求得雙曲線C的方程；
（2）直線AB：y=kx+m與雙曲線x2-

y2

3

=1聯(lián)立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0，利用韋達(dá)定理及

OA

⊥

OB

知x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得點(diǎn)P的軌跡方程．

解答：解：（1）由題意，雙曲線虛軸長(zhǎng)為2

3

，漸近線方程是y=±

3

x，
∴b=

3

，b=

3

a，
∴a=1     （3分）
故雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1．（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=kx+m與雙曲線x2-

y2

3

=1聯(lián)立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0
由題意3-k²≠0，且

△＞0 x1+x2= 2km 3-k2 x1x2= -m2-3 3-k2

 （4分）
又由

OA

⊥

OB

知x₁x₂+y₁y₂=0
而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
所以

m2+3

k2-3

+k²×

m2+3

k2-3

+km×

2km

3-k2

+m²=0
化簡(jiǎn)得2m²-3k²=3①
由△＞0可得k²＜m²+3②
由①②可得2m²-3k²=3                  （6分）
故點(diǎn)P的軌跡方程是2y²-3x²=3（x≠±

3

）        （8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．