Question

已知f（x）的定義域?yàn)镽，且當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值．
（2）證明：f（x）是奇函數(shù)．
（3）如果x＞0時(shí)，f（x）＜0，且f（1）=-

1

2

，試求使f（x²-2ax-1）≤1對(duì)x∈[2，4]恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）．令x=y=0即可得到：f（0）．
（2）由于f（x）的定義域?yàn)镽，可知f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又令y=-x，即可得到是奇函數(shù)．
（3）設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＜0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，得到f（x）在R上的單調(diào)性．利用f（1）=-

1

2

，可得f(-1)=

1

2

，進(jìn)而得到f（-2）=1，于是不等式f（x²-2ax-1）≤1即f（x²-2ax-1）≤f（-2），可得x²-2ax-1≥-2即x²-2ax+1≥0對(duì)x∈[2，4]恒成立．即a≤

x

2

+

1

2x

對(duì)x∈[2，4]恒成立．利用導(dǎo)數(shù)即可得出．

解答：解：（1）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=y=0得：f（0）=2f（0），得f（0）=0．
（2）∵f（x）的定義域?yàn)镽，∴f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）是奇函數(shù)．
（3）設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）是R上的減函數(shù)．
∵f（1）=-

1

2

，∴f(-1)=

1

2

，
∴f（-2）=2f（-1）=1，
∴不等式f（x²-2ax-1）≤1即是f（x²-2ax-1）≤f（-2），
∴x²-2ax-1≥-2即x²-2ax+1≥0對(duì)x∈[2，4]恒成立．
即a≤

x

2

+

1

2x

對(duì)x∈[2，4]恒成立．
令g(x)=

x

2

+

1

2x

，
則g′(x)=

1

2

-

1

2x2

=

x2-1

2x2

＞0在x∈[2，4]上恒成立，
因此g（x）在x∈[2，4]上單調(diào)遞增，
∴g(x)min=g(2)=1+

1

4

=

5

4

．
∴a≤

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：正確理解抽象函數(shù)的意義、奇函數(shù)的判斷方法、問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等是解題的關(guān)鍵．