Question

如果函數(shù)y=|x|-2的圖象與曲線C：x²+λy²=4恰好有兩個不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（ ）
A．[-1，1）
B．{-1，0}
C．（-∞，-1]∪[0，1）
D．[-1，0]∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：利用絕對值的幾何意義，由y=|x|-2可得，x≥0時(shí)，y=x-2；x＜0時(shí)，y=-x-2，確定函數(shù)y=|x|-2的圖象與方程x²+λy²=4的曲線必相交于（±2，0），為了使函數(shù)y=|x|-2的圖象與方程x²+λy²=4的曲線恰好有兩個不同的公共點(diǎn)，則兩曲線無其它交點(diǎn)．y=x-2代入方程x²+λy²=4，整理可得（1+λ）x²-4λx+4λ-4=0，分類討論，可得結(jié)論，根據(jù)對稱性，同理可得x＜0時(shí)的情形．
解答：解：由y=|x|-2可得，x≥0時(shí)，y=x-2；x＜0時(shí)，y=-x-2，
∴函數(shù)y=|x|-2的圖象與方程x²+λy²=4的曲線必相交于（±2，0），如圖．
所以為了使函數(shù)y=|x|-2的圖象與方程x²+λy²=4的曲線恰好有兩個不同的公共點(diǎn)，
則將y=x-2代入方程x²+λy²=4，
整理可得（1+λ）x²-4λx+4λ-4=0，
當(dāng)λ=-1時(shí)，x=2滿足題意，
由于△＞0，2是方程的根，
∴＜0，即-1＜λ＜1時(shí)，方程兩根異號，滿足題意；
綜上知，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[-1，1）．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查曲線的交點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．