Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow$=（-2，0）．點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，若四邊形OACB是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，求證$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）；
（3）求＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞的值；
（4）若$\overrightarrow{c}$$⊥\overrightarrow$（$\overrightarrow{c}$≠$\overrightarrow{0}$），當(dāng)t∈[-$\sqrt{3}$，2]時(shí)，求|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|的取值范圍；
（5）若|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}$|，求（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值及＜$\overrightarrow{c}$-$\frac{\overrightarrow}{2}$，$\overrightarrow{c}$＞的最大值．

Answer 1

分析 （1）由向量加法的平行四邊形法則，可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，即可得到所求；
（2）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可得證；
（3）運(yùn)用向量的夾角公式，計(jì)算即可得到；
（4）設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），即有-2x=0，即x=0，y≠0，再由向量的平方即為模的平方，討論y＞0，y＜0，即可得到t的二次函數(shù)，求得最值，即可得到所求范圍；
（5）運(yùn)用向量的幾何意義，通過(guò)圓的知識(shí)，即可得到（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值，再由余弦定理，結(jié)合基本不等式即可得到＜$\overrightarrow{c}$-$\frac{\overrightarrow}{2}$，$\overrightarrow{c}$＞的最大值．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，若四邊形OACB是平行四邊形，
則$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（1，$\sqrt{3}$）+（-2，0）=（-1，$\sqrt{3}$），即有C（-1，$\sqrt{3}$）；
（2）證明：若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，則$\overrightarrow{c}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
即有$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=-（$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow$²）=-（4-4）=0，
則$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）；
（3）cos＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{\sqrt{9+3}•2}$=$\frac{4+2}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞≤π，可得＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{π}{6}$；
（4）若$\overrightarrow{c}$$⊥\overrightarrow$（$\overrightarrow{c}$≠0），則$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$=0，
設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），即有-2x=0，即x=0，y≠0，
則f（t）=|$\overrightarrow{a}$-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|²=$\overrightarrow{a}$²-$\frac{2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$+t²
=t²+4-$\frac{2\sqrt{3}y}{|y|}$t，當(dāng)y＞0時(shí)，f（t）=t²+4-2$\sqrt{3}$t，
由t∈[-$\sqrt{3}$，2]，可得f（t）∈[1，13]；
當(dāng)y＜0時(shí)，f（t）=t²+4+2$\sqrt{3}$t，
由t∈[-$\sqrt{3}$，2]，可得f（t）∈[13，8+4$\sqrt{3}$]．
即有f（t）∈[1，8+4$\sqrt{3}$]，
則|a-t$\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}$|的取值范圍為[1，$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$]；
（5）|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}$|=2，設(shè)$\overrightarrow{c}$=（m，n），即有m²+n²=4，
即為以O(shè)為圓心，2為半徑的圓，
（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$=m（m-1）+n（n+$\sqrt{3}$）=（m-$\frac{1}{2}$）²+（n+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²-1，
即為點(diǎn)（m，n）與（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的距離的平方減去1，
連接圓心和（（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）延長(zhǎng)與圓相交，可得F即為所求．
則有（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值為（2+$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$）²-1=8；
又$\overrightarrow{OD}$=（-1，0）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$，＜$\overrightarrow{c}$-$\frac{\overrightarrow}{2}$，$\overrightarrow{c}$＞=＜$\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{OP}$＞=∠OPD，
設(shè)PD=x，由余弦定理可得cos∠OPD=$\frac{4+{x}^{2}-1}{4x}$=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{3}{x}$）≥$\frac{1}{4}$×2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{3}$＜2，取得等號(hào)．
可得∠OPD≤$\frac{π}{6}$，即有＜$\overrightarrow{c}$-$\frac{\overrightarrow}{2}$，$\overrightarrow{c}$＞的最大值為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的條件和夾角的大小和最值的求法，同時(shí)考查函數(shù)的思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于綜合題．