Question

18．棱長為3的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，求圖中三角形的面積、該球的表面積和體積．

Answer 1

分析 將截面圖轉(zhuǎn)化為立體圖，求三角形面積就是求正四面體中的△ABD的面積．棱長為3的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，其直徑為$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，即可求出該球的表面積和體積．

解答 解：如圖球的截面圖就是正四面體中的△ABD，
已知正四面體棱長為3，
所以AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AC=$\frac{3}{2}$，
所以CD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
截面面積是：$\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
棱長為3的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，其直徑為$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
半徑為$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，
所以球的表面積為$\frac{27}{2}π$，體積為$\frac{27}{8}\sqrt{6}π$．

點評 本題考查球內(nèi)接多面體以及棱錐的特征，考查空間想象能力，是中檔題．