Question

A、B是拋物線y=2x²上的兩點(diǎn)，直線l是線段AB的垂直平分線，當(dāng)直線l的斜率為

1

2

時(shí)，則直線l在y軸上截距的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)直線l的方程為 y=

1

2

 x+b，設(shè)AB的方程為y=-2x+c，把把AB的方程代入拋物線y=2x²化簡(jiǎn)可得
2x²+2x-c=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)公式求得線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，把M的坐標(biāo)代入直線l的方程可得c=b-

5

4

＞-

1

2

，解得b的范圍．

解答：解：設(shè)直線l的方程為 y=

1

2

x+b，則AB的斜率為-2，設(shè)AB的方程為y=-2x+c，
把AB的方程 y=-2x+c代入拋物線y=2x²化簡(jiǎn)可得  2x²+2x-c=0，∴x₁+x₂=-1，、
且判別式△=4+8c＞0，∴c＞-

1

2

．
故線段AB的中點(diǎn) M（-

1

2

，1+c ），由題意知，點(diǎn) M（-

1

2

，1+c ）在直線l上，
∴1+c=

1

2

（-

1

2

）+b，∴c=b-

5

4

＞-

1

2

，∴b＞

3

4

，
故直線l在y軸上截距的取值范圍是 （

3

4

，+∞），
故答案為 （

3

4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，線段的中垂線的性質(zhì)，得到 c=b-

5

4

＞-

1

2

，是解題的關(guān)鍵．