Question

函數(shù)f(x)=x+

p

x

在[

1

2

，+∞)上為增函數(shù)，則p的取值范圍為

(-∞，

1

4

]

．

Answer 1

分析：由題意可得，當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，f′（x）=1-

p

x2

≥0恒成立，即

p

x2

≤1恒成立．p≤0時(shí)顯然滿足此條件，當(dāng)p為正實(shí)數(shù)時(shí)，應(yīng)有 x²≥p．再由x≥

1

2

可得

1

4

≥p．綜上可得，p的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=x+

p

x

在[

1

2

，+∞)上為增函數(shù)，則有當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，f′（x）=1-

p

x2

≥0恒成立．
即

p

x2

≤1恒成立．
顯然當(dāng)p≤0時(shí)，

p

x2

≤1成立．
當(dāng)p為正實(shí)數(shù)時(shí)，x²≥p．再由x≥

1

2

時(shí)x²得最小值為

1

4

，∴

1

4

≥p．
綜上可得，p的取值范圍為(-∞，

1

4

]，
故答案為 (-∞，

1

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．