Question

【題目】設(shè)曲線(xiàn)（），是直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，過(guò)作的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為、，記為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）設(shè)，求的面積；

（2）設(shè)、、的縱坐標(biāo)依次為、、，求證：；

（3）設(shè)點(diǎn)滿(mǎn)足，是否存在這樣的點(diǎn)，使得關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

【解析】

（1）由題意求出拋物線(xiàn)方程，得到，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，，由題意得到切線(xiàn)、的方程根據(jù)在兩切線(xiàn)上，求出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，以及三角形面積公式，即可求出結(jié)果；

（2）設(shè)，，類(lèi)比（1）求出直線(xiàn)、的方程，聯(lián)立方程求出點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)題意，即可證明結(jié)論成立；

（3）先假設(shè)存在點(diǎn)，使得關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上，設(shè)，，，，由題意得到的中點(diǎn)和點(diǎn)都在直線(xiàn)上，列出方程組，根據(jù)題意求出或；分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，且是直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，

所以，所以，曲線(xiàn)，即，所以，

設(shè)，，其中，，則，，

所以切線(xiàn)的斜率為，切線(xiàn)的斜率為，

故切線(xiàn)的方程為：，即，

同理：切線(xiàn)的方程為，

因?yàn)?/span>在兩切線(xiàn)上，所以，

故、都在直線(xiàn)，即上，

所以，直線(xiàn)的方程為，

由可得：，所以，

因此，

又到直線(xiàn)的距離為：，

所以；

（2）如圖所示：

設(shè)，，則直線(xiàn)的方程為：，即，

同理可得直線(xiàn)的方程為：，

由，解得，由于點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

所以，即；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上，

設(shè)，，，，

由題意得：，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又，

直線(xiàn)的方程為：，

由點(diǎn)在直線(xiàn)上，并注意到點(diǎn)也在直線(xiàn)上，

即，，

兩式相減可得：；

若在拋物線(xiàn)上，則，

因此或，即或；

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)時(shí)，對(duì)于，此時(shí)，

，又，

由，所以，

即，矛盾；

對(duì)于，因?yàn)?/span>，此時(shí)直線(xiàn)平行于軸，

又，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)不垂直，與題設(shè)矛盾；

所以時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)；

綜上所述，僅存在一點(diǎn)，滿(mǎn)足題意.