【題目】如圖,在正四棱柱中,已知AB=2, ,

E、F分別為、上的點,且.

(1)求證:BE⊥平面ACF;

(2)求點E到平面ACF的距離.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

分析:(1)為原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出要用的點的坐標(biāo),要證明線與面垂直,只需證明這條直線與平面上的兩條直線垂直即可;(2)為平面的一個法向量,向量上的射影長即為到平面的距離,根據(jù)點到面的距離公式可得到結(jié)論.

詳解(1)證明:以D為原點,DADC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4).

=(-2,2,0)、=(0,2,4)、=(-2,-2,1)、=(-2,0,1).

·=0,·=0,

BEAC,BEAF,且ACAFA.

BE⊥平面ACF.

(2)(1)知,為平面ACF的一個法向量,

∴點E到平面ACF的距離d.

故點E到平面ACF的距離為.

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