Question

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8．則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

25

+

y2

16

=1

．

Answer 1

分析：條件中給出一個(gè)直線系，需要先求出直線所過(guò)的定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，及橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8，寫(xiě)出橢圓中三個(gè)字母系數(shù)要滿(mǎn)足的條件，解方程組得到結(jié)果，寫(xiě)出橢圓的方程．

解答：解：由（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0得（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0，
由

x-2y-3=0 4x+3y-12=0

，解得F（3，0）．
設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

解得 a=5，b=4，c=3，
從而橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
故答案為：

x2

25

+

y2

16

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線之間的關(guān)系，題目中首先求橢圓的方程，這是這類(lèi)題目常用的一種形式，屬于基礎(chǔ)題．