Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對(duì)任意a∈[3，4]，函數(shù)f（x）在R上都有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)閒（x）=-x³+ax²+b，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由此根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能夠求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由（1）知，a∈[3，4]時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

2a

3

），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（

2a

3

，+∞）．所以函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值f（0）=b．由此利用對(duì)任意a∈[3，4]，函數(shù)f（x）在R上都有三個(gè)零點(diǎn)，能求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）=-x³+ax²+b，
所以f′（x）=-3x²+2ax=-3x（x-

2a

3

），
當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）≤0，函數(shù)f（x）沒有單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）＞0，得0＜x＜

2a

3

．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

2a

3

）；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）＞0，得

2a

3

＜x＜0．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

2a

3

，0）．
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）沒有單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

2a

3

）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

2a

3

，0）．
（2）由（1）知，a∈[3，4]時(shí)，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

2a

3

），
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（

2a

3

，+∞），
所以函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值f（0）=b，
函數(shù)f（x）在x=

2a

3

處取得極大值f（

2a

3

）=

4a3

27

+b．
由于對(duì)任意a∈[3，4]，函數(shù)f（x）在R上都有三個(gè)零點(diǎn)，
所以

f(0)＜0 f( 2a 3 )＞0

即

b＜0 4a3 27 +b＞0

解得-

4a3

27

＜b＜0．
因?yàn)閷?duì)任意a∈[3，4]，b＞-

4a3

27

恒成立，
所以b＞(-

4a3

27

)max=-4，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)、不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力．