Question

已知函數(shù)f_n（x）=

x2-2x-a

enx

，其中n∈N^*，a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=f₁（x）-f₂（x）的零點；
（Ⅱ）若對任意n∈N^*，f_n（x）均有兩個極值點，一個在區(qū)間（1，4）內(nèi)，另一個在區(qū)間[1，4]外，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，令g（x）=0，即x=0；或 x²-2x-a=0；△=4+4a，分情況討論可解得零點．
（II）f_n′（x）=

-nx2+2(n+1)x+a•n-2

enx

，設g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的圖象是開口向下的拋物線，g_n（x）=0有兩個不等實數(shù)根x₁，x₂，
且x₁∈[1，4]，x₂∈[1，4]則g_n（1）g_n（4）＜0，即可推得-1＜a＜(8-

6

n

)min，故-1＜a＜2．

解答： 解：（I）g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

x2-2x-a

ex

-

x2-2x-a

e2x

=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，
令g（x）=0，有e^x-1=0，即x=0；或x²-2x-a=0；△=4+4a，
①當a＜1時，△＜0函數(shù)g（x）有1個零點 x₁=0；  
②當a=-1時，△=0函數(shù)g（x）有2個零點x₁=0，x₂=1；
③當a=0時，△＞0函數(shù)g（x）有兩個零點x₁=0，x₂=2；
④當a＞-1，a≠0時，△＞0函數(shù)g（x）有三個零點：
x₁=0，x₂=1-

a+1

，x₃=1+

a+1

（II）f_n′（x）=

(2x-2)enx-n(x2-2x-a)enx

enx

=

-nx2+2(n+1)x+a•n-2

enx

，
設g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的圖象是開口向下的拋物線，
由題意對任意n∈N^*，g_n（x）=0有兩個不等實數(shù)根x₁，x₂，
且x₁∈[1，4]，x₂∈[1，4]則對任意n∈N^*，g_n（1）g_n（4）＜0，
即n•（a+1）•n•[a-（8-

6

n

）]＜0，有(a+1)[a-(8-

6

n

)]＜0，…（7分）
又任意n∈N^*，8-

6

n

關于n遞增，8-

6

n

≥8-6=2，
故-1＜a＜(8-

6

n

)min，所以-1＜a＜2．
所以a的取值范圍是（-1，2）．

點評：本題主要考察了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考察了計算能力，屬于難題．