Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-|x+3|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）≤4，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，不等式為|x+1|-|x+3|≤1，對(duì)x的取值范圍分類討論，去掉上式中的絕對(duì)值符號(hào)，解相應(yīng)的不等式，最后取其并集即可；
（Ⅱ）依題意知，|x-a|≤x+7，由此得a≥-7且a≤2x+7，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，易求2x+7的最小值，從而可得a的取值范圍．

解答： 解：
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，不等式為|x+1|-|x+3|≤1．
當(dāng)x≤-3時(shí)，不等式化為-（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；
當(dāng)-3＜x＜-1時(shí)，不等式化為-（x+1）-（x+3）≤1，解得-

5

2

≤x＜-1；
當(dāng)x≥-1時(shí)，不等式化為（x+1）-（x+3）≤1，不等式必成立．
綜上，不等式的解集為[-

5

2

，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）≤4即|x-a|≤x+7，
由此得a≥-7且a≤2x+7．
當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，2x+7的最小值為7，
所以a的取值范圍是[-7，7]．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．