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設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上頂點為A，橢圓C上兩點P，Q在X軸上的射影分別為左焦點F1和右焦點F2，直線PQ的斜率為
3
2
，過點A且與AF1垂直的直線與X軸交于點B，△AF1B的外接圓為圓M．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線3x+4y+
1
4
a2=0與圓M相交于E，F兩點，且
.
ME
•
.
MF
=-
1
2
 a2，求橢圓方程．
分析：（1）設出P、Q的坐標，利用直線PQ的斜率為
3
2
，建立方程，即可求得橢圓的離心率；
（2）先確定圓心坐標與半徑，再利用
.
ME
•
.
MF
=-
1
2
 a2，可得M到直線3x+4y+
1
4
a2=0的距離為
1
2
a，利用點到直線的距離公式，即可求得橢圓的標準方程．
解答：解：（1）由題意，不妨設P（-c，-
b2
a
），Q（c，
b2
a
），則直線PQ的斜率為
b2
a
c
=
3
2

∴
a2-c2
ac
=
3
2
，∴2e2+3e-2=0，
∵0＜e＜1，∴e=
1
2
；
（2）∵e=
1
2
，∴∠AF1B=60•，a=2c
∵|AF1|=a，∴|BF1|=2a，即圓M的直徑為2a，B（3c，0），圓心坐標為（c，0）
∵
.
ME
•
.
MF
=-
1
2
 a2，
∴
.
ME
2cos∠EMF=-
1
2
 a2，
∴cos∠EMF=-
1
2

∴∠EMF=120°
∴M到直線3x+4y+
1
4
a2=0的距離為
1
2
a
∴
|3c+
1
4
a2|
5
=
1
2
a
∵a=2c，∴c=2，a=4
∴b2=a2-c2=12
∴橢圓方程為
x2
16
+
y2
12
=1．
點評：本題考查橢圓的標準方程與性質，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，解題的關鍵是確定圓的圓心與半徑，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設N與M關于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，若P 是橢圓上的一點，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內該橢圓上的一點，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標；
（3）設過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．

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