Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F(xiàn)分別為棱BC，DC上的動點，且BE=CF．
（1）求證：B₁F⊥D₁E；
（2）當三棱錐C₁-FCE的體積取到最大值時，求二面角C₁-FE-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）因為是正方體，又是空間垂直問題，所以易采用向量法，所以建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，欲證B₁F⊥D₁E，只須證

D1E

•

B1F

=0再用向量數(shù)量積公式求解即可．
（2）由題意可得：當三棱錐C₁-FCE的體積取到最大值時，即其底面積△FEC最大，可得點E、F分別是BC、CD的中點時取最大值，再根據(jù)線面關系得到∠C₁OC為二面角C₁-FE-C的平面角，進而利用解三角形的有關知識求出答案即可．

解答：解：（1）如圖，以D為坐標原點，直線DA、DC、DD₁分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示：
設BE=CF=b，
則D₁（0，0，a），E（a-b，a，0），F(xiàn)（0，a-b，0），B₁（a，a，a），
所以

D1E

=(a-b， a，-a)，

B1F

=(-a， -b，-a)，
所以 

D1E

•

B1F

=0，
所以B₁F⊥D₁E．
（2）由題意可得：當三棱錐C₁-FCE的體積取到最大值時，即其底面積△FEC最大，即S_△FEC=

1

2

b（a-b）最大，
由二次函數(shù)的性質可得：當b=

a

2

時，其底面積取最大值，即點E、F分別是
BC、CD的中點，
所以C₁F=C₁E，CE=CF．
取EF的中點為O，連接C₁O，CO，
所以C₁O⊥EF，CO⊥EF，
所以∠C₁OC為二面角C₁-FE-C的平面角．
在△C₁OC中，C₁C=a，CO=

2 a

4

，所以tan∠C₁OC=2

2

．
所以二面角C₁-FE-C的正切值為2

2

．

點評：本題主要考查向量證明線線的垂直關系，以及考查幾何體的體積與二面角的平面角等問題，也可以利用向量的方法解決二面角的問題，次方法比較方便靈活，是常考類型，屬中檔題．