Question

如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀．
（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？
（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最最��？（半個(gè)橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高．本題結(jié)果精確到0.1米）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，可得P的坐標(biāo)并設(shè)出橢圓的方程，將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得，依題意，可得l=2a，計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，設(shè)橢圓方程為，將（11，4.5）代入方程可得，結(jié)合基本不等式可得，分析可得當(dāng)ab≥99且l=2a，h=b時(shí)，，進(jìn)而分析可得答案．
解答：解：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（11，4.5），
橢圓方程為．
將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，
得，
此時(shí)此時(shí)
因此隧道的拱寬約為33.3米；

（2）由橢圓方程，
根據(jù)題意，將（11，4.5）代入方程可得．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212753616380992/SYS201310232127536163809019_DA/10.png">
即ab≥99且l=2a，h=b，
所以
當(dāng)S取最小值時(shí)，
有，
得，
此時(shí)，h=b≈6.4
故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時(shí)，土方工程量最小．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的實(shí)際運(yùn)用，注意與實(shí)際問題相結(jié)合，建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行分析、計(jì)算、解題．