Question

19．求函數y=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最值．

Answer 1

分析 令x=cosx （x∈[0，π]），問題轉化為求三角函數的最值．

解答 解：令x=cosx，x∈[0，π]，
則y=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$
=cosx$•\sqrt{1-co{s}^{2}x}$
=cosxsinx
=$\frac{1}{2}sin2x$，
∵x∈[0，π]，∴0≤2x≤2π，
所以-1≤sinx≤1，
從而$-\frac{1}{2}≤y=\frac{1}{2}sinx≤\frac{1}{2}$，
故函數y=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值為$\frac{1}{2}$，最小值為$-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數的最值，變形后轉化為三角函數求最值是解題的關鍵，屬于中檔題．