Question

已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸的拋物線上有一點(diǎn)A(

1

2

，m)，A點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為1．
（1）求該拋物線的方程；
（2）設(shè)M（x₀，y₀）為拋物線上的一個(gè)定點(diǎn)，過M作拋物線的兩條互相垂直的弦MP，MQ，求證：PQ恒過定點(diǎn)（x₀+2，-y₀）．
（3）直線x+my+1=0與拋物線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得△NEF為以EF為斜邊的直角三角形．

Answer 1

（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y²=2px，則由拋物線的定義可得

p

2

+

1

2

=1，即p=1，
所以拋物線的方程為 y²=2x．
（2）由題意知直線PQ與x軸不平行，設(shè)PQ所在直線方程為x=my+n，代入y²=2x中得 y²-2my-2n=0．
所以y₁+y₂=2m，y₁y=-2n，其中y₁，y₂分別是P，Q的縱坐標(biāo)，
因?yàn)镸P⊥MQ，所以k_MP•k_MQ=-1．
即

y1-y0

x1-x0

•

y2-y0

x2-x0

=-1，所以（y₁+y₀）（y₂+y₀）=-4．
y1•y2+(y1+y2)y0+y02+4=0，（-2n）+2my₀+2x₀+4=0，即n=my₀+x₀+2．
所以直線PQ的方程為x=my+my₀+x₀+2，
即x=m（y+y₀）+x₀+2，它一定過定點(diǎn)（x₀+2，-y₀）．
（3）假設(shè)N（x₀，y₀）為滿足條件的點(diǎn)，則由（2）知，點(diǎn)（x₀+2，-y₀）在直線x+my+1=0上，
所以x0+2-my0+1=0，(x0，y0)是方程組

y2=2x x-my+3=0

的解，
消去x得y²-2my+6=0，△=4m²-24≥0所以存在點(diǎn)N滿足條件．