Question

已知函數f（x）=（ax²-x）lnx-

1

2

ax²+x（a∈R）．
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在（e，f（e）處的切線方程（e=2.718…）
（2）已知x=e為函數f（x）的極值點，求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當a=0時，求函數的導數，根據導數的幾何意義，即可求曲線y=f（x）在（e，f（e）處的切線方程（e=2.718…）
（2）根據導數和極值和單調性之間的關系，即可得到結論．

解答： 解：（1）∵a=0，
∴f（x）=-xlnx+x，f′（x）=-lnx，
則直線的斜率k=f′（e）=-lne=-1，
f（e）=-elne+e=-e+e=0，
故所求切線方程為x+y-e=0．
（2）函數的導數f′（x）=（2ax-1）lnx-ax-1+ax+1=（2ax-1）lnx，
∵x=e為函數f（x）的極值點，
∴f′（e）=2ae-1=0，解得a=

1

2e

（經檢驗符合題意）
則f′（x）=（

x

e

-1）lnx=

x-e

e

lnx，
由f′（x）=0得x=1或x=e，
列表得

x	（0，1）	1	（0，1）	e	（e，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

所以函數f（x）在（0，1）和（e，+∞）內是增加的，在（0，1）內是減少的．

點評：本題主要考查函數切線的求解，以及函數極值和單調性與導數的關系，要求熟練掌握導數的幾何意義和導數的綜合應用．