Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x³-1|+x³+ax（a∈R）
（1）解關于字母a的不等式[f（-1）]²≤f（2）；
（2）a=-12，求f（x）的單調區(qū)間
（3）若a＜0，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得原不等式即為（1-a）²≤2a+15，由二次不等式的解法可得解集；
（2）求出f（x）的解析式，討論當x≥1時，當x＜1時，f（x）的解析式，求得單調區(qū)間即可；
（3）討論，當a＜0，x＜1時，f（x）的解析式，判斷最小值情況；當x≥1時，求出導數(shù)，求得極值點，討論區(qū)間[1，+∞）與極值點的關系，由單調性可得最小值．

解答 解：（1）不等式[f（-1）]²≤f（2）即為：
（1-a）²≤2a+15，解得2-3$\sqrt{2}$≤a≤2+3$\sqrt{2}$，
則解集為[2-3$\sqrt{2}$，2+3$\sqrt{2}$]；
（2）a=-12，f（x）=|x³-1|+x³-12x
當x≥1時，f（x）=2x³-12x-1，f′（x）=6x²-12，
由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{2}$；由f′（x）＜0，可得1≤x＜$\sqrt{2}$；
當x＜1時，f（x）=1-12x遞減．
綜上可得f（x）的增區(qū)間為（$\sqrt{2}$，+∞），減區(qū)間為（-∞，$\sqrt{2}$）；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+ax-1，x≥1}\\{1+ax，x＜1}\end{array}\right.$，
當a＜0，x＜1時，f（x）遞減，顯然無最小值；
當x≥1時，f（x）的導數(shù)為f′（x）=6x²+a，
由f′（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{-a}{6}}$（負的舍去），
當$\sqrt{\frac{-a}{6}}$≥1即a≤-6時，f（x）在（1，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）遞減，在（$\sqrt{\frac{-a}{6}}$，+∞）遞增，
即有x=$\sqrt{\frac{-a}{6}}$，取得最小值，且為$\frac{a\sqrt{-6a}}{9}$-1；
當當$\sqrt{\frac{-a}{6}}$＜1即a＞-6時，f（x）在（1，+∞）遞增，即有x=1取得最小值，且為a+1．
綜上可得-6＜a＜0時，最小值為a+1；a≤-6時，最小值為$\frac{a\sqrt{-6a}}{9}$-1．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，考查函數(shù)的單調性的判斷和導數(shù)的運用：求最值，同時考查不等式的解法和運算能力，分類討論的思想方法，屬于中檔題．