Question

12．已知橢圓C經(jīng)過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）和點（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），互相垂直的兩條射線OA，OB交橢圓C于A，B兩點，其中A在第二象限內(nèi)（如圖所示），若D是橢圓的左頂點且BD∥OA．
（1）求橢圓C的標(biāo)準方程；
（2）求$\frac{|OA|}{|BD|}$的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，代入兩點的坐標(biāo)，解方程可得m，n，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線OA的方程為y=kx（k＜0），代入橢圓方程，求得A的坐標(biāo)，將k換為-$\frac{1}{k}$，可得B的坐標(biāo)，再由平行的條件：斜率相等，解方程可得k，進而得到A，B的坐標(biāo)，由兩點的距離公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，
代入點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）和點（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
可得3m+$\frac{1}{4}$n=1，2m+$\frac{1}{2}$n=1，
解方程可得m=$\frac{1}{4}$，n=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設(shè)直線OA的方程為y=kx（k＜0），
代入橢圓方程x²+4y²=4，可得x=-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
即有A（-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
將k換為-$\frac{1}{k}$，可得B（$\frac{2k}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，-$\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$），
又D（-2，0），
由BD∥OA，可得k_BD=k，即為$\frac{2}{-2\sqrt{4+{k}^{2}}-2k}$=k，
解得k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有A（-$\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$），B（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
可得|OA|=$\sqrt{2}$，|BD|=$\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{8}{9}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
即有$\frac{|OA|}{|BD|}$=$\sqrt{2}$×$\frac{3}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查直線和橢圓的交點的求法，以及兩直線平行的條件和直線的斜率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．