Question

7．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=m-$\frac{2}{{{5^x}+1}}$
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）是奇函數(shù)，求m的值；
（3）若f（x）的值域?yàn)镈，且D⊆[-3，1]，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用單調(diào)性的定義，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）是奇函數(shù)，則f（x）+f（-x）=0，即可求m的值；
（3）求出f（x）的值域?yàn)镈，利用D⊆[-3，1]，建立不等式，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）判斷：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增
證明：設(shè) x₁＜x₂且x₁，x₂∈R
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=m-\frac{2}{{{5^{x_1}}+1}}-（m-\frac{2}{{{5^{x_2}}+1}}）=\frac{{2（{5^{x_1}}-{5^{x_2}}）}}{{（{{5^{x_1}}+1}）（{{5^{x_2}}+1}）}}$
∵${x_1}＜{x_2}∴{5^{x_1}}+1＞0，{5^{x_2}}+1＞0，{5^{x_1}}-{5^{x_2}}＜0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；                   
（2）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴$f（x）+f（-x）=m-\frac{2}{{{5^x}+1}}+m-\frac{2}{{{5^{-x}}+1}}=0$
即$2m-（\frac{2}{{{5^x}+1}}+\frac{{2×{5^x}}}{{{5^x}+1}}）=0⇒2m-2=0$，∴m=1
（3）由${5^x}＞0⇒0＜\frac{2}{{{5^x}+1}}＜2⇒m-2＜m-\frac{2}{{{5^x}+1}}＜m$，
∴D=（m-2，m）．
∵D⊆[-3，1]，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m-2≥-3}\\{m≤1}\end{array}}\right.⇒-1≤m≤1$，
∴m的取值范圍是[-1，1]

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．