Question

14．（1）求證：m為任何實(shí)數(shù)，直線（m-1）x+（2m-1）y=m-5經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)；
（2）過(guò)該定點(diǎn)引一條直線，使它夾在兩坐標(biāo)軸間的線段被這點(diǎn)平分，求這條直線的方程．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，直線（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒過(guò)定點(diǎn)，則與m的取值無(wú)關(guān)，則將方程轉(zhuǎn)化為（x+2y-1）m+（x+y-5）=0．讓m的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)為零即可；
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，不合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為y+4=k（x-9），求出A，B的坐標(biāo)，利用AB的中點(diǎn)為（9，-4），求出k，即可求這條直線的方程．

解答 （1）證明：方程（m-1）x+（2m-1）y=m-5可化為（x+2y-1）m+（x+y-5）=0
∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-1=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$時(shí)，直線（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒過(guò)定點(diǎn)
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-1=0}\\{x+y-5=0}\end{array}\right.$，得x=9，y=-4．
故定點(diǎn)坐標(biāo)是（9，-4）；
（2）解：當(dāng)斜率不存在時(shí)，不合題意；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線l的方程為y+4=k（x-9），
直線l與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，則A（$\frac{4}{k}$+9，0）B（0，-9k-4）．
∵AB的中點(diǎn)為（9，-4），
∴$\frac{4}{k}$+9=18，-9k-4=-8，
解得k=$\frac{4}{9}$．
∴所求直線l₁的方程為y+4=$\frac{4}{9}$（x-9），
即：4x-9y-72=0．
所求直線l的方程為4x-9y-72=0．

點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題來(lái)考查學(xué)生方程轉(zhuǎn)化的能力及直線系的理解，考查直線方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．